Question

16．如图，已知A（n，2）、B（2，-4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求m、n的值；
（2）观察图象，直接写出kx＜$\frac{m}{x}$-b的解集；
（3）若将反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，此时该函数图象与x轴、y轴分别交P、Q两点．
①请你直接写P，Q的坐标：P（-4，0）、Q（0，1）．
②求四边形APBQ的面积．

Answer 1

分析 （1）把A（n，2），B（2，-4）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$，运用待定系数法求其解析式；
（2）看在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数小于反比例函数的函数值；
（3）①根据平移规律：加左减右、加上减下得出平移后解析式，分别秀出y=0和x=0时x、y的值可得点P、Q的坐标；
②先求得直线PB解析式得出其与y轴的交点坐标，求出S_梯形APCQ、S_△BCQ，从而得出答案．

解答 解：（1）∵B（2，-4）在函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=-8．  
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{8}{x}$．  
∵点A（n，2）在函数y=-$\frac{8}{x}$的图象上
∴n=-4；

（2）由交点坐标和图象可知，当-4＜x＜0或x＞2取何值时，kx+b＜$\frac{m}{x}$，即kx＜$\frac{m}{x}$-b．

（3）①如图，

平移之后的函数解析式为y=-$\frac{8}{x-4}$-1，
当x=0时，y=1，则点Q坐标为（0，1）；
当y=0时，-$\frac{8}{x-4}$-1=0，解得x=-4，则点P的坐标为（-4，0），
故答案为：P（-4，0）、Q（0，1）；

②设PB交y轴于C点，
设PB的解析式为y=kx+b．
将P、Q坐标代入求得k=-$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{8}{3}$．
解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$．
∴C（0，-$\frac{8}{3}$）．
∴S_梯形APCQ=$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{11}{3}$）×4=$\frac{34}{3}$，S_△BCQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{3}$×2=$\frac{11}{3}$．
∴S_{四边形APBQ}=15．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；同时间接考查函数的增减性来解不等式及四边形的面积问题、平移的规律是解题的关键．