Question

6．如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=kx+b（b＞0）与y轴交于点B，∠BCA=60°，连接AB，∠α=105°，则直线y=kx+b的表达式为（　　）

• A． $y=\frac{{\sqrt{3}}}{5}x+5$
• B． $y=\sqrt{3}x+5$
• C． $y=\sqrt{3}x-5$
• D． $y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+5$

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质和三角函数分别求B、C两点的坐标，利用待定系数法求直线的表达式．

解答 解：∵A点坐标为（5，0），
∴OA=5，
∵∠BCA=60°，∠α=105°，
∴∠BAC=105°-60°=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AO=BO=5，
∴B（0，5）．
∵∠CBO=90°-∠BCA=30°，
∴BC=2CO，BO=$\sqrt{B{C}^{2}-C{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$CO=5，
∴CO=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴C（-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，0），
把B（0，5）和C（-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，0）代入y=kx+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线BC的表达式为：y=$\sqrt{3}$x+5．
故选B．

点评 本题考查了利用待定系数法求直线的解析式、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形的性质及图形与坐标特点，熟练掌握图形与坐标特点是本题的关键．