Question

7．已知：如图，正方形ABCD中，点F是对角线BD上的一个动点．
（1）如图1，连接AF，CF，直接写出AF与CF的数量关系；
（2）如图2，点E为AD边的中点，当点F运动到线段EC上时，连接AF，BE相交于点O．
①请你根据题意在图2中补全图形；
②猜想AF与BE的位置关系，并写出证明此猜想的思路；
③如果正方形的边长为2，直接写出AO的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，由SAS证明△ADF≌△CDF，即可得出AF=CF；
（2）①根据题意补全图形即可；
②由（1）得：△ADF≌△CDF，得出∠1=∠2，由SAS证明△ABE≌△DCE，得出∠3=∠4，再由直角三角形的性质得出∠2+∠4=90°，得出∠1+∠3=90°，证出∠AOE=90°，即可得出结论；
③由勾股定理求出BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，再由直角三角形的面积求出AO即可．

解答 （1）解：AF=CF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，
在△ADF和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}&{\;}\\{∠ADF=∠CDF}&{\;}\\{DF=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF=CF；
（2）解：①补全图形，如图2所示：
②AF⊥BE，理由如下：如图3所示：
由（1）得：△ADF≌△CDF，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠CDE=90°，AB=DC=AD，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{∠BAE=∠CDE}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AF⊥BE．
③∵AE=$\frac{1}{2}$AD=1，AB=2，∠BAE=90°，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AF⊥BE，
∴$\frac{1}{2}$BE•AO=$\frac{1}{2}$AB•AE，
∴AO=$\frac{AB•AE}{BE}$=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．