Question

3．如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点B作⊕O的切线，与CA的延长线相交于点E，F是BE的中点，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如图2，若AD⊥BC于点D，连接CF与AD相交于点G，求证：AG=GD；
（3）在（2）的条件下，若FG=BF，且⊙O的半径长为3$\sqrt{2}$，求BD的长度．

Answer 1

分析 （1）要证PA是⊙O的切线，就要证明∠PAO=90°，连接AO，AB，根据（1）的结论和BE是⊙O的切线和直角三角形的等量代换，就可得出结论；
（2）根据切线判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，从而可以确定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又点F是EB的中点，就可得出结论；
（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD的长度．

解答 解：
（1）证明：（如图1）
连结AO，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF，
∴∠FBA=∠FAB，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO=90°，
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是⊙O的切线；
（2）证明：∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，
∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{CF}{CG}$，$\frac{EF}{AG}$=$\frac{CF}{CG}$，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{EF}{AG}$，
∵F是斜边BE的中点，
∴BF=EF，
∴DG=AG；
（3）解：过点F作FH⊥AD于点H，（如图2）
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC．
由（2），知∠FBA=∠BAF，
∴BF=AF．
由已知，有BF=FG，
∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH⊥AD，
∴AH=GH，
∵DG=AG，
∴DG=2HG，
即$\frac{HG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，
∴四边形BDHF是矩形，BD=FH，
∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG，
∴$\frac{FH}{CD}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{HG}{DG}$，
即$\frac{BD}{CD}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{HG}{DG}$=$\frac{1}{2}$．
∵⊙O的半径长为3$\sqrt{2}$，
∴BC=6$\sqrt{2}$．
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BD}{BC-BD}$=$\frac{BD}{BD-6\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得BD=2$\sqrt{2}$．
∴BD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可