Question

7．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．
方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．
请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；
（3）分别求出甲，乙行驶的路程S_甲，S_乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过$\frac{4}{3}$h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求函数解析式，即可解答；
（2）先求出甲、乙的速度、所以OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，根据当20＜y＜30时，得到20＜40t-60＜30，或20＜-20t+80＜30，解不等式组即可；
（3）得到S_甲=60t-60（$1≤t≤\frac{7}{3}$），S_乙=20t（0≤t≤4），画出函数图象即可；
（4）确定丙距M地的路程S_丙与时间t的函数表达式为：S_丙=-40t+80（0≤t≤2），根据S_丙=-40t+80与S_甲=60t-60的图象交点的横坐标为$\frac{7}{5}$，所以丙出发$\frac{5}{7}$h与甲相遇．

解答 解：（1）直线BC的函数解析式为y=kt+b，
把（1.5，0），（$\frac{7}{3}，\frac{100}{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{1.5k+b=0}\\{\frac{7}{3}k+b=\frac{100}{3}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=40}\\{b=-60}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=40t-60；
设直线CD的函数解析式为y₁=k₁t+b₁，
把（$\frac{7}{3}，\frac{100}{3}$），（4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{3}{k}_{1}+{b}_{1}=\frac{100}{3}}\\{4{k}_{1}+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-20}\\{{b}_{1}=80}\end{array}\right.$，
∴直线CD的函数解析式为：y=-20t+80．
（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；
$\left\{\begin{array}{l}{0.5a=1.5b}\\{a（\frac{7}{3}-1）=\frac{7}{3}b+\frac{100}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=60}\\{b=20}\end{array}\right.$，
∴甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，
∴OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，
当20＜y＜30时，
即20＜40t-60＜30，或20＜-20t+80＜30，
解得：$2＜t＜\frac{9}{4}$或$\frac{5}{2}＜t＜3$．
（3）根据题意得：S_甲=60t-60（$1≤t≤\frac{7}{3}$）
S_乙=20t（0≤t≤4），
所画图象如图2所示：

（4）当t=$\frac{4}{3}$时，${S}_{乙}=\frac{80}{3}$，丙距M地的路程S_丙与时间t的函数表达式为：
S_丙=-40t+80（0≤t≤2），
如图3，

S_丙=-40t+80与S_甲=60t-60的图象交点的横坐标为$\frac{7}{5}$，
所以丙出发$\frac{7}{5}$h与甲相遇．

点评 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定系数法求函数解析式．