Question

1．如图①是一个含有30°角的直角三角板的图片，其内外两个三角形△P′B′Q′与△PBQ的三边分别平行，如图②，现在任意画一条直线MN与这两个三角形的四条直角边分别交于点A、A′、C、C′，锐角∠BCA等于α，C′E等于B′Q′与BQ之间的距离，A′D等于B′P′与BP之间的距离．
（1）求证：△DA′A∽△ECC′；
（2）在图②中，如果A′D=C′E，求$\frac{AA′}{CC′}$等于多少．（结果用含α的三角函数的式子表示）此时AA′与CC′可能相等吗？若能相等，求出相应的α值；若不能相等，说明理由；
（3）如图③如果保持图片中的△PBQ不动，将△P′B′Q′适当上下平移，使A′D=nC′E，则$\frac{AA′}{CC′}$等于$\frac{nsinα}{cosα}$．（用含α的三角函数的式子表示）

Answer 1

分析 （1）求出两个角分别相等，根据相似三角形的判定定理推出即可；
（2）解直角三角形求出AA′、CC′的值，再代入求出即可；
（3）解直角三角形求出AA′、CC′的值，再代入求出即可．

解答 （1）证明：∵C′E等于B′Q′与BQ之间的距离，A′D等于B′P′与BP之间的距离，
∴AB∥C′E，∠ADA′=∠C′EC=90°，
∴∠DAA′=∠EC′C，
∴∠DA′A=∠ECC′=α，
∴△DA′A∽△ECC′；

（2）解：在Rt△ADA′和Rt△C′EC中，
AA′=$\frac{A′D}{cosα}$，CC′=$\frac{C′E}{sinα}$，
∵A′D=C′E，
∴$\frac{AA′}{CC′}$=$\frac{sinα}{cosα}$，
AA′与CC′能相等，
当相等时，sinα=cosα，
即α=45°；

（3）在Rt△ADA′和Rt△C′EC中，
AA′=$\frac{A′D}{cosα}$，CC′=$\frac{C′E}{sinα}$，
∵A′D=nC′E，
∴$\frac{AA′}{CC′}$=$\frac{nsinα}{cosα}$，
故答案为：$\frac{nsinα}{cosα}$．

点评 本题考查了几何变换，相似三角形的判定，解直角三角形的应用，能通过解直角三角形求出AA′和CC′的长是解此题的关键，求解过程类似．