Question

13．【阅读理解】
如图1，在△ABC中，AD平分，求证：$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$．
小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，构造△EBD∽△ACD，达到证明$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$的目的．
（1）请完成小明的证明过程．
【应用结论】
（2）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，∠BAD=α，sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AB=12．
①求线段BD的长度．
②求线段CD的长度和sin2α的值．
小明分析：由（1）知$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AB}{BD}$，设CD=t，则AC=$\frac{AB}{BD}$t，解Rt△ABC可得结论．请你写出解答．

Answer 1

分析 （1）如图，过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，根据平行线的性质得到∠DBE=∠C，∠DAC=∠E，由于∠BDE=∠CDA，推出△BDE∽△CDA，得到$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AC}$，由于AD平分∠BAC，于是得到∠BAD=∠DAC=∠E，等量代换得到结论；
（2）①在R_t△ABD中，∠B=90°∠BAD=a，sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AB=12，于是求得sinα=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，可设BD=x，ad=$\sqrt{5}$x，由勾股定理得，即可得到结果；②由（1）知$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD}=\frac{12}{6}=2$，设CD=t （t＞0），则AC=2t，在R_t△abc中，AB²+BC²=AC²，根据勾股定理得到CD=10，AC=20于是求得sin2α=$\frac{BC}{AC}=\frac{6+10}{20}$=$\frac{4}{5}$．

解答 （1）证明：如图，过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∴∠DBE=∠C，∠DAC=∠E，
又∠BDE=∠CDA，
∴△BDE∽△CDA，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AC}$，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=∠E，
∴BE=AB，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$；

（2）解：①在R_t△ABD中，∠B=90°∠BAD=a，sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AB=12，
∴sinα=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，可设BD=x，ad=$\sqrt{5}$x，
由勾股定理得，x²+12²=（$\sqrt{5}$x）²，
解得：x=6，
故所求线段BD的长度为6；
②由（1）知 $\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD}=\frac{12}{6}=2$，
设CD=t （t＞0），则AC=2t，
在R_t△abc中，AB²+BC²=AC²，
∴（6+t）²+12²=（2t）²，
解得：t₁=-6＜0，舍去；或t₂=10，
∴CD=10，AC=20
∴sin2α=$\frac{BC}{AC}=\frac{6+10}{20}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角函数，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．