Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD等于二分之一AB，点E，F分别为BC，AC的中点．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若BC=10cm，且∠C=30°，求四边形AEFD的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形中位线定理得出EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，进而利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用直角三角形的性质以及勾股定理得出AB，BC的长，进而得出四边形AEFD的面积．

解答 （1）证明：∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∵AD=$\frac{1}{2}$AB，D在AB的延长线上，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10cm，且∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=5cm，则AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=5$\sqrt{3}$（cm），
∴EF=AD=$\frac{5}{2}$cm，AF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$cm，
∴四边形AEFD的面积为：$\frac{5}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$（cm²）．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．