Question

8．如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PD=$\frac{16}{3}$cm，AC=8cm，点E是$\widehat{AB}$的中点，连接CE，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OC，先利用切线的性质得到∠PAO=90°，在利用平行线的性质得到∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，接着证明△PAO≌△PCO 得到∠PAO=∠PCO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）连结EA、EB，作BH⊥CE于H，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=∠AEB=90°，在利用平行线的性质和垂径定理得到AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，则利用勾股定理计算出PA=$\frac{20}{3}$，接着证明Rt△PAD∽Rt△POA，利用相似比计算出PO=$\frac{25}{3}$，则OD=PO-PD=3，BC=2OD=6，于是利用勾股定理可计算出AB=10，接下来证明△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，所以CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，然后利用勾股定理计算出EH即可得到CE的长．

解答 （1）证明：如图，连接OC，
∵PA切⊙O于A．
∴OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP，
在△PAO和△PCO中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOP=∠COP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PCO  （SAS），
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连结EA、EB，作BH⊥CE于H，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∵OP∥BC，
∴PO⊥AC，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，
在Rt△PAD中，PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∵∠APO=∠DPA，
∴Rt△PAD∽Rt△POA，
∴PA：PO=PD：PA，即$\frac{20}{3}$：PO=$\frac{16}{3}$：$\frac{20}{3}$，解得PO=$\frac{25}{3}$，
∴OD=PO-PD=3，
∵AO=BO，OD∥BC，
∴BC=2OD=6，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵点E是$\widehat{AB}$的中点，
∴∠BCE=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴AE=BE，
∴△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，
∴CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，
在Rt△BEH中，EH=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴CE=CH+EH=3$\sqrt{2}$+4$\sqrt{2}$=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．解决（2）小题的关键是构建等腰直角三角形，把CE分为CH和EH进行计算．