Question

1．观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₁₈=2¹⁸，a_n=2ⁿ；
（2）如果欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰…①
将①式两边同乘以3，得3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²¹…②
由②减去①式，得S=$\frac{{3}^{21}-1}{2}$．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则a_n=${{a}_{1}q}^{n-1}$（用含a₁，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{{a}_{1}{（q}^{n}-1）}{q-1}$．（用含a₁，q，n的代数式表示）．
（4）已知数列满足（3），且a₆-a₄=24，a₃a₅=64，求S₈=a₁+a₂+a₃+…+a₈．

Answer 1

分析 （1）根据题意，可得在这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2；有第一个数为2，故可得a₁₈，a_n的值；
（2）根据题中的提示，可得S的值；
（3）由（2）的方法，依次可以推出a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，注意分两种情况讨论；
（4）由已知条件求出首项和公比，再代入等比数列前n项和公式的答案．

解答 解：（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，
∴a₁₈=2¹⁸，a_n=2ⁿ；
故答案为：2、2¹⁸、2ⁿ；

（2）令s=1+3+3²+3³+…+3²⁰，
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²¹
3S-S=3²¹-1，
S=$\frac{{3}^{21}-1}{2}$，
故答案为：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²¹、$\frac{{3}^{21}-1}{2}$；

（3）∵第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，
∴a_n=a₁q^n-1，
∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ①
∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ ②
②-①得：S_n=$\frac{{a}_{1}{（q}^{n}-1）}{q-1}$，
故答案为：a₁q^n-1、$\frac{{a}_{1}{（q}^{n}-1）}{q-1}$；

（4）∵a₆-a₄=24，a₃a₅=64，
∴${{a}_{1}q}^{5}{{-a}_{1}q}^{3}$=24①，${{a}_{1}q}^{2}{{•a}_{1}q}^{4}$=64②，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{q=-2}\end{array}\right.$，
∴${S}_{8}=\frac{1×（1{-2}^{8}）}{1-2}$=255或${S}_{8}=\frac{-1×[1{-（-2）}^{8}]}{1-（-2）}$=85
故答案为：S₈=85或者S₈=255．

点评 本题主要考查了等比数列，通过观察，发现规律是解答此题的关键．