如图.一次函数y=-$\frac{4}{5}$x+12与x轴.y轴相交于点A.B两点.动点P以4个单位/秒的速度从点O出发.沿OA方向在线段OA上运动.以P为圆心.OP长为半径作⊙P,同时动点E以5个单位/秒的速度从点A出发.沿x轴的负半轴方向运动.过点E作EF⊥x轴.交射线AB于点F.以EF为边在EF的左侧作正方形EFMN.设运动时间为t秒．(1)求点A与点B的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

如图，一次函数y=-$\frac{4}{5}$x+12与x轴、y轴相交于点A、B两点，动点P以4个单位/秒的速度从点O出发，沿OA方向在线段OA上运动，以P为圆心，OP长为半径作⊙P；同时动点E以5个单位/秒的速度从点A出发，沿x轴的负半轴方向运动，过点E作EF⊥x轴，交射线AB于点F，以EF为边在EF的左侧作正方形EFMN，设运动时间为t秒．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）连结BP、PM，当t为何值时，BP=PM；
（3）作直线BM，当⊙P与直线BM相切时，求正方形EFMN的边长．

分析（1）代值求出数据，即可求出交点坐标，
（2）BP从两个角度求值，建立方程求出时间t，
（3）先确定出直线BM解析式，再BM和圆P相切，利用锐角三角函数建立方程求解即可．

解答解：（1）∵一次函数y=-$\frac{4}{5}$x+12与x轴、y轴相交于点A、B两点，
令y=0，
∴0=-$\frac{4}{5}$x+12，
∴x=15，
∴A（15，0）
令x=0．y=12，
∴B（0，12）
（2）由运动有，OP=4t，AE=5t，EF=EN=4t，
∴AN=9t，
∴P（4t，0），M（15-9t，4t），
∴PM=$\sqrt{（15-9t-4t）^{2}+（4t）^{2}}$，
BP=$\sqrt{（4t）^{2}+144}$，
∵BP=PM，BP=$\sqrt{（4t）^{2}+144}$，
∴$\sqrt{（15-9t-4t）^{2}+（4t）^{2}}$=$\sqrt{（4t）^{2}+144}$，
∴$t=\frac{3}{13}$，或$t=\frac{27}{13}$
（3）由运动得，P（4t，0），M（15-9t，4t），
∵B（0，12），
∴直线BM的解析式为y=$\frac{4t-12}{15-9t}$x+12，
∴直线BM与x轴的交点G为（$\frac{3（9t-15）}{t-3}$，0），
当⊙P与直线BM相切时，
①当点G和O重合时，即：$\frac{3（9t-15）}{t-3}$=0
∴t=$\frac{5}{3}$，
②如图，当BP是∠OBG的角平分线，
过点P作PH⊥BM于H，
∴PH=OP=4t，
∵P（4t，0），G（$\frac{3（9t-15）}{t-3}$，0），
∴PG=$\frac{3（9t-15）}{t-3}$-4t，
在Rt△PHG中，sin∠PGH=$\frac{PH}{PG}$，
在Rt△BOG中，sin∠OGB=$\frac{OB}{BG}$，
∴$\frac{PH}{PG}=\frac{OB}{BG}$
∴$\frac{B{O}^{2}}{O{P}^{2}}=\frac{B{G}^{2}}{P{G}^{2}}$，
∵BG²=[$\frac{3（9t-15）}{t-3}$]²+144，PG₂=[$\frac{3（9t-15）}{t-3}$-4t]²，BO²=144，OP²=16t²，
∴$\frac{144}{16{t}^{2}}$=$\frac{[\frac{3（9t-15）}{t-3}]^{2}+144}{[\frac{3（9t-15）}{t-3}-4t]^{2}}$，
∴t=1，或t=$\frac{5}{3}$（舍）或t=-5（舍）；
即：t=1或t=$\frac{5}{3}$时，⊙P和BM相切．
即：正方形EFMN的边长=4t=4或$\frac{20}{3}$．