Question

1．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请直接写出线段DE、BD、CE之间的数量关系（不要求说明理由）；
（3）将（1）中的直线m绕点A旋转，使其与BC边相交，则结论DE=BD+CE是否还成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请写出所有可能的结论，并在图3中画出相应的图形．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）分成m⊥BC和m与AC的夹角小于45°，大于45°三种情况进行讨论，第一种情况根据等腰三角形的性质即可判断，第二种情况下与（1）相同利用全等三角形的性质可得，第三种情况相同．

解答 （1）证明：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE；
（2）解：成立，证明如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，
∴∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE；
（3）当m⊥BC时，根据D和E重合，则DE=0，BD=CE；
当m与AC的夹角小于45°时，如图，
∵∠BAD+∠CAE=90°，直角△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∴△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC=90°}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，EC=AD，
又∵DE=AE-AD，
∴DE=BD-CE；
同理，当m与AC的夹角大于45°，小于90°时，DE=CE-BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确分情况进行讨论，证明三角形全等是关键．