Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A的平分线AD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，求∠B的度数及边BC、AB的长．

Answer 1

分析 在RT△ACD中利用cos∠CAD=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出∠ACD，再求出∠CAB，最后在RT△ABC根据30度性质求解．

解答 解：在RT△ACD中，∵∠C=90°，AC=4，AD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠CAD=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CAD=30°，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAB=2∠CAD=60°，
∴∠B=90°-∠CAB=30°，
∴AB=2AC=8，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的定义、勾股定理、角平分线的定义等知识，正确运用三角函数的定义是解题的关键．