Question

20．对于二次函数y=mx²+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（-1，-3）；
②当m=-1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥-$\frac{67}{26}$时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．

Answer 1

分析 ①根据二次函数y=mx²+（5m+3）x+4m，可进行变形，得到y═（x²+5x+4）m+3x，只要令x²+5x+4=0，则所得的x的值就与m无关，从而可以解答本题；
②将m=-1代入函数解析式，然后分别令x=0和y=0求出相应的y值和x的值，即可解答本题；
③根据抛物线的解析式可以求得对称轴，然后根据m＜0，可知在对称轴右侧y随x的增大而减小，然后令对称轴的值等于-$\frac{67}{26}$，求得m的值然后看m的值是否小于0，即可解答本题．

解答 解：①是真命题，
理由：∵y=mx²+（5m+3）x+4m=（x²+5x+4）m+3x，
∴当x²+5x+4=0时，得x=-4或x=-1，
∴x=-1时，y=-3；x=-4时，y=-3；
∴二次函数y=mx²+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）的图象一定过定点（-1，-3），
故①是真命题；
②是假命题，
理由：当m=-1时，则函数为y=-x²-2x-4，
∵当y=0时，-x²-2x-4=0，△=（-2）²-4×（-1）×（-4）=-12＜0；当x=0时，y=-4；
∴抛物线与x轴无交点，与y轴一个交点，
故②是假命题；
③是假命题，
理由：∵y=mx²+（5m+3）x+4m，
∴对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{5m+3}{2m}$=-$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2m}$，
∵m＜0，x≥-$\frac{67}{26}$时，函数y随x的增大而减小，
∴$-\frac{5}{2}-\frac{3}{2m}=-\frac{67}{26}$，得m=$\frac{39}{2}$，
∵m＜0与m=$\frac{39}{2}$矛盾，
故③为假命题；

点评 本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．