Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．

（1）求证：点D为BC的中点；

（2）求AP的长度；

（3）求证：CP是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）BD＝DC；（2）5；（3）详见解析.

【解析】

（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，可得，则BD=DE，所以BD=DE=DC，得到∠DEC=∠DCE，在等腰△ABC中可计算出∠ABC=75°，故∠DEC=75°，再由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，然后利用OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°，则△AOP是等腰直角三角形，易得AP的长度；
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°，在Rt△AOG中，由∠OAG=30°可得＝，由于＝＝，则＝，根据三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，然后根据切线的判定定理即可得到CP是⊙O的切线．

（1）BD＝DC．理由如下：

如图1，连接AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC．

（2）如图1，连接AP．

∵AD是等腰△ABC底边上的中线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴

∴BD＝DE．

∴BD＝DE＝DC，

∴∠DEC＝∠DCE，

△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，

∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠DEC＝75°，

∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∵BP∥DE，

∴∠PBC＝∠EDC＝30°，

∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，

∵OB＝OP，

∴∠OBP＝∠OPB＝45°，

∴∠BOP＝90°．

∴△AOP是等腰直角三角形．

∵AO＝AB＝5．

∴AP＝AO＝5；

（3）设OP交AC于点G，如图1，

则∠AOG＝∠BOP＝90°，

在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，

∴＝，

又∵＝＝，

∴＝，

∴＝．

又∵∠AGO＝∠CGP，

∴△AOG∽△CPG，

∴∠GPC＝∠AOG＝90°，

∴OP⊥PC，

∴CP是⊙O的切线．