Question

7．已知，锐角∠ABC是⊙O的圆周角，且AB＞BC，点D是圆上任意一点（不与A、B、C重合），连接AD并延长交BC所在的直线于点P．
（1）如图1，若点D在$\widehat{AC}$上，且∠ABC=80°，求∠CDP的度数；
（2）探索∠CDP与∠ABC的关系；
（3）若$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，探索CD与AB的关系（直接写出结论）．

Answer 1

分析 （1）因为∠ABC和∠ADC 所对的弧的和是周角，根据圆周角定理得出∠ABC+∠ADC=180°，根据平角的定义得出∠ADC+∠CDP=180°，即可求得∠CDP=∠ABC=80°；
（2）因为∠ABC和∠ADC 所对的弧的和是周角，根据圆周角定理得出∠ABC+∠ADC=180°，根据平角的定义得出∠ADC+∠CDP=180°，即可求得∠CDP=∠ABC；
（3）根据圆心角、弧、弦的关系得出∠1=∠2，然后根据平行线的判定即可证得CD∥AB．

解答 解：（1）∵四边形A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDP=180°，
∴∠CDP=∠ABC=80°；
（2）∠CDP=∠ABC，
如图1，∵四边形A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDP=180°，
∴∠CDP=∠ABC．
（3）如图2，连接BD，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠1=∠2，
∴CD∥AB．

点评 本题考查了圆周角定理的应用，圆心角、弧、弦的关系以及平行线的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．