Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，8），若抛物线的对称轴为直线x=-1，且△ABC的面积为40．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在直线BC上，是否存在这样的点Q，使得点Q到直线AC的距离为5？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先由△ABC的面积为40求出AB=10，再根据抛物线的对称轴为直线x=-1，得到A（-6，0），B（4，0），则可设抛物线交点式为y=a（x+6）（x-4），将点C（0，8）代入，求出a=-

1

3

，进而得到抛物线的函数关系式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-2x+8，由于点B到直线AC的距离为8＞5，所以点Q的位置有两种可能的情况：①点Q在线段BC上；②点Q在线段BC的延长线上．利用面积法分别可求．

解答：解：（1）∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

AB×8=40，
∴AB=10．
∵对称轴为直线x=-1，
∴A（-6，0），B（4，0），
∴设y=a（x+6）（x-4），
∵抛物线过点C（0，8），
∴8=-24a，
解得a=-

1

3

，
∴y=-

1

3

（x+6）（x-4），即y=-

1

3

x²-

2

3

x+8；

（2）存在这样的点Q，使得点Q到直线AC的距离为5．
设直线BC的解析式为y=kx+m，
∵B（4，0），C（0，8），
∴

4k+m=0 m=8

，解得

k=-2 m=8

，
∴y=-2x+8．
设点Q（x，-2x+8），
∵A（-6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AB=AC=10，
又∵AB边上的高OC=8，
∴AC边上的高即点B到直线AC的距离为8＞5．
分两种情况：
①当点Q在线段BC上时，如图1．连接AQ，过点Q作QP⊥AC于P，QR⊥AB于R，则QP=5，QR=|-2x+8|=-2x+8．
∵S_△ACQ+S_△ABQ=S_△ABC，
∴

1

2

AC•QP+

1

2

AB•QR=

1

2

AB•OC，
∴

1

2

×10×5+

1

2

×10×QR=

1

2

×10×8，
解得QR=3，
∴-2x+8=3，x=

5

2

，
∴Q₁（

5

2

，3）；
②当点Q在线段BC的延长线上时，如图2．连接AQ，过点Q作QP⊥AC于P，QR⊥AB于R，则QP=5，QR=|-2x+8|=-2x+8．
∵S_△ABQ-S_△ACQ=S_△ABC，
∴

1

2

AB•QR-

1

2

AC•QP=

1

2

AB•OC，
∴

1

2

×10×QR-

1

2

×10×5=

1

2

×10×8，
解得QR=13，
∴-2x+8=13，x=-

5

2

，
∴Q₂（-

5

2

，13）；
综上所述，符合条件的点Q的坐标分别为Q₁（

5

2

，3），Q₂（-

5

2

，13）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质和三角形的面积求法．第（2）问利用等腰三角形两腰上的高相等判断出点Q的位置有两种可能的情况，进而根据△ABC的面积不变列出关系式是解题的关键．