Question

7．如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），过点P作弦AB与劣弧AB组成一个弓形，则该弓形面积的最小值为（　　）

• A． π-1
• B． π-2
• C． $\frac{4π}{3}$-1
• D． $\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 要使弓形面积最小，则使P在弦AB中点，根据勾股定理求得扇形的角度，然后在△AOB中求得AB的长，即可求得弓形面积的最小值．

解答 解：当P在弦AB中点时，弓形面积最小，
连接OP，OA，OB，
∴OP⊥AB，
∵P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴OP=1，
∵OA=OB=2，
∴∠OBP=∠OAP=30°，
∴∠AOB=120°，
∴AB=2PB=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形-S_△AOB，=$\frac{120×π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}×1$=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．
∴弓形面积的最小值为：$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题主要考查扇形面积公式和解直角三角形的知识点，解答本题的关键是确定点P在弦AB中点时，弓形的面积最小，此题有一定难度．