Question

20．如图，已知一次函数y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与正比例函数y=$\sqrt{3}$x的图象交于点C，点D是线段OB上的一个动点（不包含O、B两点），以AD为边在其一侧作等边三角形ADE，DE交AB于F，AD交OC于G．
（1）分别求出A、B、C点的坐标；
（2）求证：△ADF和△ACG是否相似，为什么？
（3）证明CE总与AB垂直．

Answer 1

分析 （1）对于一次函数y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，令x=0，得y=2$\sqrt{3}$，令y=0得x=2，即可求出A、B两点坐标，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$解方程组即可求得点C坐标．
（2）只要证明△AOC是等边三角形，可得∠ACG=∠ADF=60°，由此即可证明．
（3）连接EC，只要证明△OAD≌△CAE，可得∠AOD=∠ACE=90°，由此即可证明．

解答 （1）解：对于一次函数y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，令x=0，得y=2$\sqrt{3}$，
令y=0得x=2，
∴A（2，0），B（0，2$\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴点C坐标为（1，$\sqrt{3}$）．

（2）解：结论：△ADF∽△ACG．
理由：∵C（1，$\sqrt{3}$），A（2，0），
∴OC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，AC=$\sqrt{（2-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴OC=AC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACG=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ACG=∠ADF，∵∠CAG=∠DAF，
∴△ADF∽△ACG．

（3）证明：连接EC，
∵△AOC，△ADE都是等边三角形，
∴AO=AC，AD=AE，∠OAC=∠DAE，
∴∠OAD=∠CAE，
在△OAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AC}\\{∠OAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△CAE（ASA），
∴∠AOD=∠ACE=90°，
∴EC⊥AB．

点评 本题考查相似三角形综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，本题的突破点是证明△AOC是等边三角形．