Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．

（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；

（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；

（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．

Answer 1

【答案】（1）BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由见解析；（3）AP＝AM+PM＝3．

【解析】

（1）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，得到AE=AN，进一步证明△AEM≌△ANM，得出ME=MN，得出BM+DN=MN；
（2）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，得出AM=AF，进一步证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN-BM=MN；
（3）由已知得出DN=12，由勾股定理得出AN＝＝＝6 ，由平行线得出△ABQ∽△NDQ，得出＝＝＝＝，∴＝，求出AQ=2 ；由（2）得出DN-BM=MN．设BM=x，则MN=12-x，CM=6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出BM=2，由勾股定理得出AM＝＝，由平行线得出△PBM∽△PDA，得出＝＝，，求出PM= PM＝AM＝，

得出AP＝AM+PM＝3.

（1）BM+DN＝MN，理由如下：

如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，

∴∠ABE＝90°＝∠D，

在△ABE和△ADN中，，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，

∴∠EAN＝∠BAD＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAM＝45°＝∠NAM，

在△AEM和△ANM中，，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME＝MN，

又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，

∴BM+DN＝MN；

故答案为：BM+DN＝MN；

（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：

如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，

则∠ABM＝90°＝∠D，

在△ABM和△ADF中，，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，

∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，

即∠MAF＝∠BAD＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠MAN＝∠FAN＝45°，

在△MAN和△FAN中，，

∴△MAN≌△FAN（SAS），

∴MN＝NF，

∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，

∴DN﹣BM＝MN．

（3）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴∠ABM＝∠MCN＝90°，

∵CN＝CD＝6，

∴DN＝12，

∴AN＝＝＝6 ，

∵AB∥CD，

∴△ABQ∽△NDQ，

∴＝＝＝＝，

∴＝，

∴AQ＝AN＝2 ；

由（2）得：DN﹣BM＝MN．

设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，

在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，

解得：x＝2，

∴BM＝2，

∴AM＝＝＝2，

∵BC∥AD，

∴△PBM∽△PDA，

∴＝＝＝，

∴PM＝AM＝，

∴AP＝AM+PM＝3．