Question

9．已知⊙O中弦AB⊥弦CD，垂足为H．
（1）如图1，当AB为直径时，求证：BC=BD；
（2）如图2，当tan∠ACD=$\frac{1}{2}$，且BO=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$时，求BC的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=CB，过H作BD的垂线垂足为E，直线HE交AC于点F，交⊙O于点G，求△OFH的面积．

Answer 1

分析 （1）由AB为直径，CD为弦，且直径与弦垂直，利用垂径定理得到B为$\widehat{CD}$中点，得到两条弧相等，利用等弧对等弦即可得证；
（2）连接OC，过O作OR垂直于BC，设∠ACD=x，利用同弧所对的圆周角定理得到一对角相等，表示出∠ABD=x，进而表示出∠BDC，进而表示出∠BOC，由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，根据tan∠ACD与BO的值，求出BR的值，利用垂径定理即可确定出BC的值；
（3）连接OF、OH，过O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，设AH=x，则有CH=2x，表示出BH，利用勾股定理求出x的值，求出AM与OM长，得出OH的长，进而利用勾股定理求出ON与FH的长，即可求出三角形OFH的面积．

解答 （1）证明：∵AB为直径，且AB⊥弦CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴BC=BD；
（2）解：如图2，连接OC，过O作OR⊥BC于点R，
设∠ACD=x，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠ABD=x，
∵AB⊥CD，
∴∠BDC=90°-x，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BOC=2∠BDC=180°-2x，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=x，
∴tan∠OBC=tan∠ACD=$\frac{1}{2}$，
∵BO=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴BR=2OR=5，
∵OR⊥BC，
∴BC=2BR=10；
（3）解：如图3，连接OF、OH，过O作OM⊥AB于点M，ON⊥EF于点N，
设AH=x，则CH=2x，
∵BA=BC=10，
∴BH=10-x，
在Rt△BCH中，由勾股定理解得：x=4，
∴AM=5，OM=2.5，
∴OH=$\frac{\sqrt{29}}{2}$，
∵OE⊥BD，
∴∠EHD=∠DBH=∠ACD=∠CHF，
∴HF为△ACH的斜边中线，
∴HF=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=4$\sqrt{5}$，
∴CF=HF=2$\sqrt{5}$，
在Rt△COF中得OF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
令HN=a，则FN=2$\sqrt{5}$-a，
由勾股定理：ON²=OF²-FN²=OH²-NH²，
解得：a=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴ON=$\frac{9\sqrt{5}}{10}$，
∴△OFH的面积为$\frac{9\sqrt{5}}{10}$×2$\sqrt{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．