Question

11．如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径弦CD⊥AB于点O，点E是BC上的一点，且AC=CE．
（1）求证：∠ACG=∠CAG；
（2）当∠ACG=30°，MA=4时，求点C和点E坐标；
（3）在（2）的条件下，点P在$\widehat{EBD}$上运动时，是否存在一点P使得四边形GDPE的面积最大？如果存在，求出点P的坐标和最大面积的值；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用垂径定理和圆的有关性质即可得出结论；
（2）利用圆周角和圆心角的关系，得出△ACM是等边三角形，即可求出点C坐标，再求出∠EMI，即可求出点E坐标，
（3）先判断出DE过点M，再判断出四边形DGEP面积最大时PG垂直DE且过点M，再用三角形的面积公式即可．

解答 解：（1）∵AB是⊙M的直径弦CD⊥AB于点O，
∴OC⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∵AC=CE．
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}=\widehat{CE}$，
∴∠ACG=∠CAG，
（2）如图1，连接MC，ME，过点E作EI⊥AB，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，
∴∠CAM=60°，
∵MA=MC，
∴△ACM是等边三角形，
∵MA=4，
∴OM=$\frac{1}{2}$AM=2，OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM=2$\sqrt{3}$，
∴C（0，2$\sqrt{3}$）
∵AC=CE，
∴∠CME=∠AMC=60°，
∴∠EMI=60°，
∴∠MEI=30°，
∴MI=$\frac{1}{2}$ME=2，EI=2$\sqrt{3}$．
∴OI=OM+MI=4，
∴E（4，2$\sqrt{3}$）；
（3）如图2，连接DE，AD，PG．过点P作PN⊥AB，

由（1）知，$\widehat{AC}=\widehat{AD}=\widehat{CE}$，
∴∠CDG=∠AED=∠ACG=∠AEC=30°，
∴DG=EG，∠DAE=90°，
∴DE过点M，
∵使得四边形GDPE的面积最大，
∴PG过点M且PG⊥DE，
∵∠CDE=30°，
∴∠OMD=60°，
∴∠PMN=∠OMG=30°，
在Rt△PMN中，∠PMN=30°PM=4，
∴PN=2，MN=2$\sqrt{3}$，
∴P（2$\sqrt{3}$，-2），在Rt△OMG中，∠OMG=30°，
∴MG=$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形GDPE}=S_△DGE+S_△PDE=$\frac{1}{2}$×DE×MG+$\frac{1}{2}$×DE×PM=$\frac{1}{2}$×8×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×8×4=4$\sqrt{3}$+16．
即：四边形GDPE的面积最大时，点P的坐标（2$\sqrt{3}$，-2），最大面积的值4$\sqrt{3}$+16．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，解本题的关键是判断出△ACM是等边三角形．