Question

19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（-2，0），作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．
（1）填空：点B的坐标为（-1，3），点C的坐标为（-3，2）．
（2）若正方形以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过点B作BB′⊥y轴于点B′，过点C作CC′⊥x轴于点C′，由全等三角形的性质可知AB′=CC′=DO，BB′=DC′=AO，结合各边的关系即可找出B、C点的坐标；
（2）按图形的变化分成三部分：①用时间t表示出直角三角形两直角边长度，套用三角形面积公式即可得出结论；②用时间t表示出直角梯形上、下底与高的长度，套用梯形的面积公式即可得出结论；③由正方形的面积减去剩下直角三角形的面积即可得出结论．

解答 解：（1）过点B作BB′⊥y轴于点B′，过点C作CC′⊥x轴于点C′，如图1所示．

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA=90°．
∵BB′⊥y轴，
∴∠BB′A=90°，
∴∠BAB′+∠DAO=180°-∠BAD=90°，∠BAB′+∠ABB′=90°，
∴∠DAO=∠ABB′．
在△ABB′和△DAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAO=∠ABB′}\\{∠AB′B=∠DOA=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABB′≌△DAO（AAS）；
同理△CDC′≌△DAO．
∴AB′=CC′=DO，BB′=DC′=AO．
∵点A（0，1）、D（-2，0），
∴AB′=CC′=DO=2，BB′=DC′=AO=1，
∴OB′=OA+AB′=3，OC′=OD+DC′=3，BB′=1，CC′=2，
故点B的坐标为（-1，3），点C的坐标为（-3，2）．
故答案为：（-1，3）；（-3，2）．
（2）AB=BC=CD=DA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
整个运动过程分成三部分：
①点B没有运动到y轴右侧时，如图1所示．

其中AF=$\sqrt{5}$t，AE=2$\sqrt{5}$t，
此时0＜AE≤AB，即0＜2$\sqrt{5}$t≤$\sqrt{5}$，
解得：0＜t≤$\frac{1}{2}$．
S=$\frac{1}{2}$AF•AE=5t²；
②点B运动到了y轴右侧，点D还未运动到y轴右侧，过B作BM∥y轴，交AD于点M，如图2所示．

其中AF=$\sqrt{5}$t，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BE=MF=AF-AM=$\sqrt{5}$t-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
此时AM＜AF≤AD，即$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜$\sqrt{5}$t≤$\sqrt{5}$，
解得：$\frac{1}{2}$＜t≤1．
S=$\frac{1}{2}$（BE+AF）AB=$\frac{1}{2}×（\sqrt{5}t+\sqrt{5}t-\frac{\sqrt{5}}{2}）×\sqrt{5}$=5t-$\frac{5}{4}$；
③点D运动到了y轴右侧，点C还未运动到y轴右侧，过C作CM∥y轴交直线AD于点M，令CD与y轴的交点为N，如图3所示．

其中AF=$\sqrt{5}$t，DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，CE=MF=AD+DM-AF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-$\sqrt{5}$t，DF=AF-AD=$\sqrt{5}$t-$\sqrt{5}$，
∵∠NCE=∠NDF=90°，∠CNE=∠DNF，
∴△CNE∽△DNF，
∴$\frac{CN}{DN}=\frac{CE}{DF}$，
又∵CN+DN=$\sqrt{5}$，
∴CN=$\frac{3-2t}{2t-2}$DN，CN=3$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$t．
此时AD＜AF≤AM，即$\sqrt{5}$＜$\sqrt{5}$t≤$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
解得：1＜t≤$\frac{3}{2}$．
S=AB•AD-$\frac{1}{2}$CE•CN=$\sqrt{5}×\sqrt{5}-\frac{1}{2}×（\frac{3\sqrt{5}}{2}-\sqrt{5}t）×（3\sqrt{5}-2\sqrt{5}t）$=-5t²+15t-$\frac{25}{4}$．
综上可知：S关于平移时间t（秒）的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{5{t}^{2}（0＜t≤\frac{1}{2}）}\\{5t-\frac{5}{4}（\frac{1}{2}＜t≤1）}\\{-5{t}^{2}+15t-\frac{25}{4}（1＜t≤\frac{3}{2}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、一元一次不等式的应用、三角形的面积公式以及直角梯形的面积公式，解题的关键：（1）由全等三角形的性质找出△ABB′和CC′D各边的长度；（2）解一元一次不等式找出不同情况下t的取值范围．本题属于中档题，（1）难度不大，由于是填空题，可以不用去证三角形全等省去不少时间；（2）难度不大，但是过程繁琐，做题过程中不仅用到了解一元一次不等式找x的取值范围，还用到了三角形、直角梯形的面积公式，故在解决该题型题目时，细心观察图形，通过图形的变化分类是关键．