Question

计算：
用一副三角板拼出甲、乙两个图形，

（1）求：图甲中，∠CFD，∠AEF的度数；
（2）图乙中，用尺规（直尺、圆规）作图，作出BD的中点E，并保留作图痕迹；
（3）点E与点A、C的距离相等吗？请说明理由．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形内角和定理,直角三角形斜边上的中线,作图—复杂作图

专题：

分析：（1）在△CFD中运用三角形内角和定理得出∠CFD=180°-∠BCD-∠D，根据邻补角定义得出∠AEF=180°-∠CED，再将已知角度数代入计算即可求解；
（2）用尺规作出线段BD的垂直平分线，交BD于E；
（3）设BD=a，然后运用直角三角形的性质和勾股定理用含a的代数式分别表示线段AE和CE，比较即可．

解答：解：（1）∠CFD=180°-∠BCD-∠D=180°-60°-45°=75°，
∠AEF=180°-∠CED=180°-45°=135°；

（2）如图，线段BD的垂直平分线与BD交于点E；

（3）AE≠CE，理由如下：
连结AE．
设BD=a，则BE=EC=

1

2

a，AB=

3

3

a，
在直角△ABE中，由勾股定理得：AE=

AB2+BE2

=

21

6

a，
∵

21

6

a≠

1

2

a，
∴AE≠CE．

点评：本题考查三角形的内角和定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，也考查了学生的画图操作能力，难度适中．