题目内容

如图，在一个边长为9cm的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC、CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于点H，交AD于点N．设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动；点E同时从点A出发，以
2
cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）：
（1）当点F是AB的三等分点时，求出对应的时间t；
（2）当点F在AB边上时，连结FN、FM：
①是否存在t值，使FN=MN？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在t值，使FN=FM？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）根据AB∥CD，得到△AFE∽△CDE，根据当点F是边AB三等分点时，则AF=3或AF=6，分AF=3时和AF=6时利用相似三角形对应边的比相等列出方程求得AE的长，从而求得t值；
（2）设CM=t，F在边AB上时，用t表示线段AF、ND、AN，然后分FN=MN时和FN=FM时两种情况利用等腰三角形的性质求得t值即可．
解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
当点F是边AB三等分点时，则AF=3或AF=6，
（i）AF=3时，∵
AF
CD
=
AE
EC
，
∴
3
9
=
AE
9
2
-AE
，
∴AE=
9
2
4
，
∴t=
9
4

（ii）同理，AF=6，AE=
18
2
5
，
∴t=
18
5
．

（2）设CM=t，F在边AB上时，用t表示线段AF、ND、AN：
由△AFE∽△CDE，
∴
AE
9
=
2
t
9
2
-
2
t
，
得AF=
9t
9-t
．
又∵△MND∽△DFA，
∴
ND
AF
=
MD
AD
，解得ND=t．
∴AN=DM=9-t，
①当FN=MN时，则由AN=DM，
∴△FAN≌△NDM，
∴AF=ND，即
9t
9-t
=t，得t=0，不合题意．
∴此种情形不存在；
②当FN=FM时，由MN⊥DF，等腰三角形三线合一，得HN=HM=HD，
∴△NDM是等腰Rt△，DN=DM=MC，
∴M为中点，
∴t=
9
2
．
点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．
练习册系列答案
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计算：
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，对称轴是
 
，顶点坐标是
 
，该函数有最
 
值，它可以看成是将函数y=2x2的图象向
 
平移
 
个单位得到的．
如图，?ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC=4，则AB的长是
 
．
不等式
x+2＞a
x-1＜b
的解集是1＜x＜2，则a=
 
，b=
 
．
如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB=2
3
，∠A=30°，则⊙O的直径为
 
．

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