Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P、Q为AB边及BC边上的两个动点．
（1）若点P从点A沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两个点同时出发．
①经过几秒，△PBQ的面积等于8cm²；
②是否存在这样的时刻，使△PBQ的面积等于10cm²？如果存在请求出来，如果不存在，请说明理由．
（2）假设点P、Q可以分别在AB、BC边上任意移动，是否存在PQ同时平分△ABC的周长和面积的情况？如果存在请求出BP的长度；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）①设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
②根据△PBQ的面积等于10cm²得到方程

1

2

•2t(6-t)=10，再根据判别式即可作出判断；
（2）设BP=x，则BQ=12-x，可得

1

2

x（12-x），解得x的值，再与BP，BQ的长作出判断．

解答：解：（1）①设运动时间为t（s），得

1

2

•2t(6-t)=8，
解得t₁=2，t₂=4．
故经过2或4秒，△PBQ的面积等于8cm²；
②依题意有

1

2

•2t(6-t)=10，
即t²-6t+10=0，
△=6²-4×10=-4＜0，
故不存在这样的时刻，使△PBQ的面积等于10cm²．

（2）设BP=x，则BQ=12-x，
可得

1

2

x（12-x）=

1

2

×6×8×

1

2

，
解得x=6±2

3

，
当x=6+2

3

时，与BP≤6矛盾；
当x=6-2

3

时，BQ=6+2

3

，与BQ≤8矛盾
所以这样的PQ不存在．

点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．