Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=

4

3

，点E、F分别是线段AD、AC上的动点，（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）求证：

FE

EC

=

AE

DC

；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求△AEC的面积．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得到A点坐标；由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标；
（2）欲证

FE

EC

=

AE

DC

；只需证明△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可．如图①，在△AEF与△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：
①当CE=EF时，此时△AEF与△DCE相似比为1，则有AE=CD；求出E点坐标，计算出面积．
②当EF=FC时，此时△AEF与△DCE相似比为

6

5

，则有AE=

5

6

CD；求出E点坐标，计算出面积．
③当CE=CF时，F点与A点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．

解答：解：（1）由题意tan∠ACB=

4

3

，
∴cos∠ACB=

3

5

，
∵四边形ABCO为矩形，AB=16，
∴BC=12，AB=20，
∴A点坐标为（-12，0），
∵点D与点A关于y轴对称，
∴D（12，0）．
（2）点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质）
∴∠AEF=∠DCE．
则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE．
∴

FE

EC

=

AE

DC

；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
∴△AEC的面积为

1

2

AE•OC=

1

2

×20×16=160．
②当EF=FC时，如图②所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=

6

5

EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

=

AE

ED

，即：

EF

6 5 EF

=

AE

20

，
解得：AE=

50

3

，
∴OE=AE-OA=

14

3

，
∴E(

14

3

，0)．
∴△AEC的面积为

1

2

AE•OC=

1

2

×16×

50

3

=

400

3

．
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此时E点与D点重合，这与已知条件矛盾．
∴△AEC的面积为160或者

400

3

．

点评：本题综合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面几何图形在坐标平面内的性质与变换，相似三角形的判定与性质应用是其核心．难点在于第（3）问，当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解，继而求得面积．