Question

如图：⊙M在直角坐标系中，圆心M在y轴正半轴上，弧AB所对的圆心角是120°，⊙M的半径是2cm．
（1）求点M的坐标．
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）点D是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ACBD面积的最大值．
（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连结OA、OB，根据垂径定理由OC⊥AB得弧AC=弧BC，则∠AMC=∠BMC，由于∠AMB=120°，所以∠AMC=60°，在Rt△AMO中，∠MAO=30°，AM=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得OM=

1

2

AM=1，则M点的坐标为（0，1）；
（2）在Rt△AMO中根据含30度的直角三角形三边的关系得OA=

3

，OC=1，则OB=OA=

3

，得到A点坐标为（-

3

，0），B点坐标为（

3

，0），C点坐标为（0，-1），然后利用待定系数法确定过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=

1

3

x²-1；
（3）由于四边形ACBD面积=S_△ABC+S_△ABD，S_△ABC=

3

，则当S_△ABD最大时，四边形ACBD面积最大，而当点D为弦AB所对的优弧的中点时，S_△ABD最大，最大值=

1

2

×2

3

×3=3

3

，于是得到四边形ACBD面积的最大值为4

3

；
（4）先得到△ABC为顶角为120°的等腰三角形，则当点P、A、B为顶点的三角形为顶角为120°的等腰三角形时，与△ABC相似，由于C点为抛物线的最低点，则点P在x轴上方的抛物线上，分类讨论：当∠ABP=120°，且BA=BP=2

3

时，△BAP∽△CAB，作PH⊥x轴于H，易得∠PBH=60°，∠BPH=30°，则BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，所以P点坐标为（2

3

，3），当∠BAP=120°，且AB=AP=2

3

时，△ABP∽△CAB，同理可得P点坐标为（-2

3

，3）．

解答：解：（1）连结OA、OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AMC=∠BMC，
∵弧AB所对的圆心角是120°，即∠AMB=120°，
∴∠AMC=60°，
在Rt△AMO中，∠MAO=30°，AM=2，
∴OM=

1

2

AM=1，
∴M点的坐标为（0，1）；
（2）在Rt△AMO中，∠MAO=30°，OM=1，
∴OA=

3

，OC=1，
∴OB=OA=

3

，
∴A点坐标为（-

3

，0），B点坐标为（

3

，0），C点坐标为（0，-1），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x+

3

）（x-

3

），
把C（0，-1）代入得-3a=-1，解得a=

1

3

，
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=

1

3

（x+

3

）（x-

3

）=

1

3

x²-1；
（3）∵四边形ACBD面积=S_△ABC+S_△ABD，
而S_△ABC=

1

2

×1×2

3

=

3

，
∴当S_△ABD最大时，四边形ACBD面积最大，
∴当点D为弦AB所对的优弧的中点时，S_△ABD最大，最大值=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
∴四边形ACBD面积的最大值为4

3

；
（4）存在．
∵OC=OM=1，OA⊥MC，
∴△MAC为等边三角形，
∴∠ACO=60°，AC=AM=2，
∴△ABC为顶角为120°的等腰三角形，
∴当点P、A、B为顶点的三角形为顶角为120°的等腰三角形时，与△ABC相似，
C点为抛物线的最低点，则点P在x轴上方的抛物线上，
当∠ABP=120°，且BA=BP=2

3

时，△BAP∽△CAB，
作PH⊥x轴于H，∠PBH=60°，∠BPH=30°，
∴BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，
∴P点坐标为（2

3

，3），
当∠BAP=120°，且AB=AP=2

3

时，△ABP∽△CAB，同理可得P点坐标为（-2

3

，3），
∴满足条件的P点坐标为（2

3

，3）、（-2

3

，3）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和二次函数的性质；会运用待定系数法确定二次函数的解析式，会利用相似比和含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．