Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；②根据S_阴影=S_△BOD-S_扇形DOE求得即可．

解答 解：（1）直线BC与⊙O相切；
连结OD，∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
即OD⊥BC．
又∵直线BC过半径OD的外端，
∴直线BC与⊙O相切．
（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，
∴OB=2r，
在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴AB=2AC=6，
∴3r=6，解得r=2．
（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°．
∴$S_{扇形ODE}^{\;}=\frac{{60π•{2^2}}}{360}=\frac{2}{3}π$．
∵∠B=30°，OD⊥BC，
∴OB=2OD，
∴AB=3OD，
∵AB=2AC=6，
∴OD=2，BD=2$\sqrt{3}$
S_△BOD=$\frac{1}{2}$×OD•BD=2$\sqrt{3}$，
∴所求图形面积为$S_{△BOD}^{\;}-S_{扇形ODE}^{\;}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$．

点评 本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．