Question

15．已知在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosA=$\frac{3}{5}$（如图），将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别记为A′、B′，A′B′与边AB相交于点E．如果A′B′⊥AC，那么线段B′E的长为$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 设A′B′交AC于F．在Rt△ABC中，求出AC、BC，在Rt△A′CB′中，求出AF、A′F，利用EF∥CB，推出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，求出EF即可解决问题．

解答 解：设A′B′交AC于F．

∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosA=$\frac{3}{5}$，
∴AC=6，BC=8，
∵CF⊥A′B′，
∴CF=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，AF=6-$\frac{24}{5}$=$\frac{6}{5}$，
A′F=$\sqrt{A′{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∵EF∥CB，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{EF}{8}$=$\frac{\frac{6}{5}}{6}$，
∴EF=$\frac{8}{5}$，
∴B′E=10-$\frac{18}{5}$-$\frac{8}{5}$=$\frac{24}{5}$．
故答案为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查旋转变换、解直角三角形．平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．