Question

3．如图：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于A（-3，1）、B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，若点P在x轴上，使BP=AC，请直接写出点P的坐标；
（3）点H为反比例函数第二象限内的一点，过点H作y轴的平行线交直线AB于点G．若HG=2，求此时H的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再求出B点坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）求得C的坐标，设P（x，0），然后根据题意由勾股定理得出（x-1）²+（0+3）²=18，解方程即可求得；
（3）设H（m，-$\frac{3}{m}$），则G（m，-m-2），根据题意得出-$\frac{3}{m}$-（-m-2）=2，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵点A（-3，1）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象上，
∴m=（-3）×1=-3，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{3}{x}$，
∵点B（1，n）也在反比例函数y=-$\frac{3}{x}$的图象上，
∴n=-$\frac{3}{1}$=-3，即B（1，-3），
把点A（-3，1），点B（1，-3）代入一次函数y=kx+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=-x-2；
（2）由一次函数y=-x-2可知C（0，-2），
∴AC=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（1+2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
设P（x，0），
∵BP=AC，
∴BP²=AC²=18，
∴（x-1）²+（0+3）²=18，
解得x=4或x=-2，
∴P（4，0）或（-2，0）；
（3）设H（m，-$\frac{3}{m}$），则G（m，-m-2），
∵HG=2，
∴-$\frac{3}{m}$-（-m-2）=2，
解得m=±$\sqrt{3}$，
∵点H为反比例函数第二象限内的一点，
∴H（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的图象，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．