Question

13．如图，△ABC中，F为BC的中点，FD⊥BC，交∠BAC的平分线于D，DE⊥AC于E，求证：AB+AC=2AE．

Answer 1

分析 连接DB、DC，作DG⊥AB于G，则∠G=90°，由HL证明Rt△BDG≌Rt△CDE，得出BG=CE，再由ASA证明△ADG≌△ADE，得出AG=AE，即可得出结论．

解答 证明：连接DB、DC，作DG⊥AB于G，如图所示：
则∠G=90°，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，
∴∠BAD=∠CAD，DG=DE，∠DEC=90°，
∵F为BC的中点，FD⊥BC，
∴DB=DC，
在Rt△BDG和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}&{\;}\\{DG=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDG≌Rt△CDE（HL），
∴BG=CE，
在△ADG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DEA=90°}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\\{∠BAD=∠CAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ADE（ASA），
∴AG=AE，
∵AB=AG-BG，AC=AE+CE，
∴AB+AC=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．