Question

如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃和直线l₁，l₂交于点C和D，点P在直线l₃上，
（1）若点P在C，D两点之间运动，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，若不变请求出它们之间的关系；
（2）若点P在C，D两点的外侧运动（点P与点C，D不重合），则∠PAC，∠APB，
∠PBD之间的关系又如何？

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l₁∥l₂，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答：解：（1）如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
过点P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂∥l₁，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l₁上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l₂下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

点评：本题主要考查平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等与两直线平行，同位角相等，注意辅助线的作法．