Question

如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．
（1）求证：OM=AN；
（2）若⊙O的半径R=3，PA=8，求OM的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）连结OA，如图，先根据切线的性质得到∠OAP=90°，再证明四边形ANMO为矩形，然后根据矩形的性质得到结论；
（2）解：连结OB，如图，先根据切线的性质得到∠OBM=90°，再利用四边形ANMO为矩形得到MN=OA=3，OM=AN，接着可证明△PMN≌△MOB，则PM=OM，所以OM=AN=PM，
根据切线长定理得PA=PB=8，然后设OM=x，则PN=8-x，PM=x，在Rt△PMN中利用勾股定理得到3²+（8-x）²=x²，再解方程求出x即可．

解答：（1）证明：连结OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵OM∥AP，
∴∠AOM=90°，
而MN⊥PA，
∴∠MNA=90°，
∴四边形ANMO为矩形，
∴OM=AN；
（2）解：连结OB，如图，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PA，OB=3，
∴∠OBM=90°，
∵四边形ANMO为矩形，
∴MN=OA=3，OM=AN，
∴OB=MN，
∵OM∥PA，
∴∠MPN=∠BMO，
在△PMN和△MOB中，

∠MNP=∠OBM ∠MPN=∠OMB OB=MN

，
∴△PMN≌△MOB（AAS），
∴PM=OM，
∴OM=AN=PM，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB=8，
设OM=x，则PN=8-x，PM=x，
在Rt△PMN中，∵MN²+PN²=PM²，
∴3²+（8-x）²=x²，解得x=

73

16

，
即OM的长为

73

16

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理和全等三角形的判定与性质．