Question

已知：如图，△ABC中，D是AB中点，若AC=12，BC=5，CD=6.5，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作AE平行于BC交CD的延长线于E，首先证明△AED≌△BCD，可得AE=BC=5，ED=CD，再利用勾股定理逆定理可证明△AEC是直角三角形，进而可得∠CAB+∠EAB=90°，再由∠B=∠EAB，可得∠CAB+∠B=90°，从而证明△ABC是直角三角形．

解答：证明：作AE平行于BC交CD的延长线于E，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∵AE∥CB，
∴∠B=∠EAB，
在△ADE和△BDC中，

∠B=∠EAD AD=BD ∠ADE=∠CDB

，
∴△AED≌△BCD（ASA），
∴AE=BC=5，ED=CD，
∴EC=13，
∵AC=12，
∵5²+12²=13²，
∴△AEC是直角三角形．
∴∠CAE=90°，
∴∠CAB+∠EAB=90°，
∵∠B=∠EAB，
∴∠CAB+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评：此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确画出辅助线，证明△AEC是直角三角形．