Question

11．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB=AF；
（2）若BC=2AB，∠BCD=110°，求∠ABE的度数．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，点E为AD的中点，易证得△DEC≌△AEF（AAS），继而可证得DC=AF，又由DC=AB，证得结论；
（2）由（1）可知BF=2AB，EF=EC，然后由∠BCD=110°求得BE平分∠CBF，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCE=∠F，∠FBC+∠BCD=180°，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE．
在△DEC和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠F}\\{∠DEC=∠AEF}\\{DE=AE}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC=AF．
∴AB=AF；

（2）解：由（1）可知BF=2AB，EF=EC，
∵∠BCD=110°，
∴∠FBC=180°-110°=70°，
∵BC=2AB，
∴BF=BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$×70°=35°．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意证得△DEC≌△AEF与△BCF是等腰三角形是关键．