Question

13．如图，一次函数的图象与反比例函数y₁=-$\frac{3}{x}$（x＜0）的图象相交于A点，与y轴，x轴分别相交于B，C两点，且C（2，0），当x＜-1时，一次函数值大于反比例函数值；当-1＜x＜0时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的表达式；
（2）设函数y₂=$\frac{a}{x}$（x＞0）的图象与y₁=-$\frac{3}{x}$（x＜0）的图象关于y轴对称，在y₂=$\frac{a}{x}$（x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，若四边形BCQP的面积等于2，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由“当x＜-1时，一次函数值大于反比例函数值；当-1＜x＜0时，一次函数值小于反比例函数值”即可得出点A的横坐标为-1，由此即可得出点A的坐标，设一次函数表达式为y=kx+b，再结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据对称性找出函数y₂的解析式，由一次函数的解析式可求出点B的坐标，设出点P的坐标，根据分割图形求面积可找出关于点P横坐标的分式方程，解方程即可求出点P的横坐标，将其代入点P的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）∵x＜-1时，一次函数值大于反比例函数值；当-1＜x＜0时，一次函数值小于反比例函数值，
∴点A的横坐标是-1，
∴A（-1，3）．
设一次函数表达式为y=kx+b，因直线过点A，C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=-x+2．
（2）∵y₂=$\frac{a}{x}$（x＞0）的图象与y₁=-$\frac{3}{x}$（x＜0）的图象关于y轴对称，
∴y₂=$\frac{3}{x}$（x＞0）．
∵B点是直线y=-x+2与y轴的交点，
∴B（0，2）．
设P（n，$\frac{3}{n}$）（n＞2），
∵S_{四边形BCQP}=S_梯形BOQP-S_△BOC=2，
∴$\frac{1}{2}$（2+$\frac{3}{n}$）n-$\frac{1}{2}$×2×2=2，
解得：n=$\frac{5}{2}$（经验证$\frac{5}{2}$是方程的解）．
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及解分式方程，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）找出关于点P横坐标的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．