Question

8．如图，抛物线y=x²+bx+8与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第二象限），抛物线的顶点C在直线OB上，且点C为OB的中点，对称轴与x轴相交于点D，平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x²+6x+8．

Answer 1

分析 先确定A（0，8），则表示出B点坐标（-b，8）（b＞0），利用点C为OB的中点可得到C（-$\frac{1}{2}$b，4），根据抛物线的顶点坐标公式得到$\frac{4×8-{b}^{2}}{4}$=4，解得b=4或b=-4（舍去），所以抛物线解析式为y=x²+4x+8=（x+2）²+4，则D（-2，0），然后设平移后的抛物线解析式为y=x²+mx+n，再把A点和D点坐标代入得到m、n的方程组，接着解方程组求出m、n即可．

解答 解：当x=0时，y=x²+bx+8=8，则A（0，8），
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为8，
当y=8时，x²+bx+8=8，解得x₁=0，x₂=-b，
∴B（-b，8）（b＞0），
∵点C为OB的中点，
∴C（-$\frac{1}{2}$b，4），
∵C点为抛物线的顶点，
∴$\frac{4×8-{b}^{2}}{4}$=4，解得b=4或b=-4（舍去），
∴抛物线解析式为y=x²+4x+8=（x+2）²+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∴D（-2，0），
设平移后的抛物线解析式为y=x²+mx+n，
把A（0，8），D（-2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=8}\\{4-2m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=8}\end{array}\right.$，
所以平移后的抛物线解析式为y=x²+6x+8．
故答案为y=x²+6x+8．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了抛物线的几何变换．