Question

9．已知如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）如图（1），若∠α=35°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠β=$\frac{35°}{2}$；
（2）如图（2），若∠α=46°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠β=23°；
（3）如图（3），D为BC上任意一点．请你思考：在△ABC中，若AB=AC，AD=AE，则∠α和∠β之间有什么关系？如果有，请你写出来，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）等腰三角形三线合一，所以∠α=35°，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=$\frac{145°}{2}$，所以∠β=$\frac{35°}{2}$°；
（2）同理，易证∠ADE=67°，所以∠β=23°；
（3）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知，易证∠α+∠B=2∠β+∠C，而∠B=∠C，所以∠α=2∠β．

解答 解解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠α=∠CAD，
∵∠α=35°，
∴∠α=∠CAD=35°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{145°}{2}$，
∴∠β=90°-$\frac{145°}{2}$=$\frac{35°}{2}$；
故答案为：$\frac{35°}{2}$；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠α=∠CAD，
∵∠α=46°，
∴∠BAD=∠CAD=46°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=67°，
∴∠β=23°；
故答案为：23°；

（3）∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠α+∠B=∠ADC=∠ADE+∠β=∠AED+∠β=（∠β+∠C）+∠β=2∠EDC+∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠α=2∠β．

点评 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．