Question

如图，在⊙O中，

AB

=

AC

=

CD

，AB=3，AE•ED=5，求EC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理,相交弦定理

专题：

分析：由

AB

=

AC

=

CD

，可求得AB=AC，∠CAD=∠B；易证得△CAE∽△CBA，可得AC²=CE•BC=CE²+BE•CE；然后联立由相交弦定理得出的：BE•CE=AD•DE=5；可求得CE的值

解答：解：∵

AB

=

AC

=

CD

，
∴∠1=∠2=∠3=∠4；
∴△AEC∽△BAC；
∴CE：AC=AC：BC；
∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；
∵BC=BE+CE，
∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE²=9 ①；
由根据相交弦定理得，BE•CE=AE•ED=5 ②；
②代入①得：5+CE²=9，
解得：CE=2．

点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及相较弦定理的运用，解题的关键是利用相似三角形的性质，建立起各条线段间的关系，结合相交弦定理解答．