题目内容
4．有一卖报人，从报社批进某种证券报的价格是每份1.5元，卖出的价格是每份2元，卖不掉的报纸以每份1元的价格退回报社，在30天的时间里有20天每天卖出150份，其余10天每天卖出100份，但这30天每天从报社批进报纸的份数必须相同，设卖报人每天从报社批进x份报纸，月利润为y元．（1）写出y与x的函数关系式；
（2）画出此函数的图象；
（3）此卖报人应该每天从报社批进多少份报纸，才能使月利润最高？最高利润是多少？
分析 （1）设每天从报社买进报x份，分三种情况讨论：当x≤100时，y=30x（2-1.5）=15x；当100＜x≤150且为整数时，利润y=20天全卖掉情况的利润+10天卖掉100份的利润-10天中每天卖不掉的报纸赔的钱，根据此关系式可列出函数式；当x＞150时，利润y=20天全卖掉情况的利润-20天中每天卖不掉的报纸赔的钱+10天卖掉100份的利润-10天中每天卖不掉的报纸赔的钱．
（2）根据（1）中函数解析式，画出分段函数的图象；
（3）观察函数图象，即可解答．
解答 解：（1）设每天从报社买进报x份，
当x≤100时，y=30x（2-1.5）=15x；
当100＜x≤150且为整数时，
y=20（2-1.5）x+10×（2-1.5）×100-10（x-100）×（1.5-1）=5x+1000．
当x＞150时，
y=20（2-1.5）×150-20×（1.5-1）×（x-150）+10×（2-1.5）×100-10（x-100）×（1.5-1）
=4000-15x
（2）如图，
（3）由函数图象可得，当x=150时，y有最大值，为1750，
∴此卖报人应该每天从报社批进150份报纸，才能使月利润最高，最高利润是1750元．
点评 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是分段函数模型的构造中，自变量取值的分界是关键点，只有合理的分类，正确的求解才能成功地解题．但分类时要做到不重不漏．正确求出函数解析式后，利用函数的常规方法求解相关问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
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