Question

12．已知抛物线C：y=ax²．
（1）若抛物线C经过点（2，4），则a=1；
（2）在（1）的条件下，直线l经过点（2，-2），且与抛物线C仅仅只有一个公共点，求直线l的解析式；
（3）若一次函数y=kx+b的图象与抛物线C交于A、B两点，交x轴于点C，当A，B两点的横坐标分别为-2、4．求C点坐标．

Answer 1

分析 （1）把（2，4）代入y=ax²得出a的值；
（2）设直线l的解析式为：y=kx+b，由直线l与抛物线C仅仅只有一个公共点，则两函数解析式所组成的方程只有一个解，即△=0，由直线l经过点（2，-2），代入y=kx+b中得：2k+b=-2，两方程组成方程组可求出k、b的值，写出解析式即可；
（3）根据一次函数y=kx+b的图象与抛物线C交于A、B两点，则列方程组为：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，则ax²-kx-b=0，且x=-2和x=4是方程的解，代入得：则$\left\{\begin{array}{l}{4a+2k-b=0}\\{16a-4k-b=0}\end{array}\right.$，求得b=4k，在一次函数中求与x轴交点时，令y=0，则x=-$\frac{b}{k}$，代入可得结论．

解答 解：（1）把（2，4）代入y=ax²得：
4a=4，a=1，
故答案为：a=1；
（2）设直线l的解析式为：y=kx+b，
则x²=kx+b，
x²-kx-b=0，
△=（-k）²-4×1×（-b）=0，
k²+4b=0，
∵直线l经过点（2，-2），
∴2k+b=-2，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-2}\\{{k}^{2}+4b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=4+2\sqrt{6}}\\{{b}_{1}=-10-4\sqrt{6}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=4-2\sqrt{6}}\\{{b}_{2}=-10+4\sqrt{6}}\end{array}\right.$；
∴直线l的解析式为：y=（4+2$\sqrt{6}$）x-10-4$\sqrt{6}$或y=（4-2$\sqrt{6}$）x-10+4$\sqrt{6}$；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，
ax²=kx+b，
ax²-kx-b=0，
则x=-2和x=4是方程的解，
则$\left\{\begin{array}{l}{4a+2k-b=0}\\{16a-4k-b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}k}\\{b=4k}\end{array}\right.$，
当y=0时，kx+b=0，
x=-$\frac{b}{k}$=-$\frac{4k}{k}$=-4，
∴C点坐标为（-4，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴交点的问题，熟练掌握二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；知道一元二次方程ax²+bx+c=0的解就是抛物线与x轴交点的横坐标．