Question

4．如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出 $\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．

解答 解：如图所示，
∵PC是∠APB的角平分线，
∴∠APC=∠CPB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴AC=BC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；
∵MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD=$\frac{1}{2}$OC=2．
连接OE，根据勾股定理，得：DE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=2ED=4$\sqrt{3}$．
故答案是：4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．