Question

15．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（6，0）、B（0，3），P是线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），点C的坐标为（4，0）．
（1）求直线AB所对应的函数关系式．
（2）设动点P的坐标为（m，n），△PAC的面积为S．
①当PC=PO时，求点P的坐标．
②写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围，并求出使S_△PAC=S_△PBO时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）①当PC=PO时，点P在CO的垂直平分线上，则P的横坐标即可求得，代入直线解析式求得纵坐标；
②根据三角形的面积公式即可用m表示出S_△PAC和S_△PBO，即可列方程求得m的值，进而求得P的坐标．

解答 解：（1）设直线AB所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB所对应的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；
（2）①∵PC=PO，
∴点P在CO的垂直平分线上，
又∵点C的坐标为（4，0），
∴点P的横坐标m=2，
∵点P在直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上，

∴n=2，
∴点P的坐标为（2，2）；
②∵P（m，n）在y=-$\frac{1}{2}$x+3上，则-$\frac{1}{2}$m+3=n，
∴S=$\frac{1}{2}$OC•n=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m+3），
即S=-$\frac{1}{2}$m+3（0＜m＜6）．
S_△PBO=$\frac{1}{2}$OB•m=$\frac{1}{2}$×3m，
又∵S_△PAC=S_△PBO，
∴-$\frac{1}{2}$m+3=$\frac{1}{2}$×3m，
解得：m=$\frac{3}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及三角形的面积公式，用m表示出S_△PAC和S_△PBO是关键．