Question

1．如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD，BC分别交于点E，F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G，
（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
（2）若KD=KG，BC=2$\sqrt{2}$-1，求KD的长度．

Answer 1

分析 （1）①先根据AAS判定△DOK≌△BOG，②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；
（2）①先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长；

解答 解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO
∵点O是BD的中点
∴DO=BO
在△KDO和△GBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KDO=∠GBO}\\{∠KOD=∠BOG}\\{DO=BO}\end{array}\right.$，
∴△DOK≌△BOG（AAS）

②∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠BFA=45°
∴AB=BF
∵OK∥AF，AK∥FG
∴四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG
∵BG=BF+FG
∴BG=AB+AK

（2）①由（1）得，四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG，AF=KG
又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG
∴AF=KG=KD=BG
设AB=a，则AF=KG=KD=BG=$\sqrt{2}$a
∴AK=2$\sqrt{2}$-1-$\sqrt{2}$a，FG=BG-BF=$\sqrt{2}$a-a
∴2$\sqrt{2}$-1-$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$a-a
解得a=1，
∴KD=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解答此题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．