Question

8．某工厂安排20名技工组装A、B、C三个型号的玩具，按规定每天共组装420件玩具，每名技工只组装同一型号的玩具，且至少有2名技工组装同一个型号的玩具．

玩具型号	A型	B型	C型
每名技工每天组装的数量（个）	22	21	20
每件玩具获得的利润（元）	8	10	6

（1）设工厂安排x名技工组装A型玩具，y名技工组装B型玩具，根据上表提供的信息，求x与y之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）工厂如何安排生产任务，可以使得每天在这批玩具上获得的利润最大？请写出相应的生产分配方案并求出每天获得的最大利润值．

Answer 1

分析 （1）设组装A型、B型、C型玩具的技工分别为x、y、（20-x-y）人，然后根据玩具总个数为420，列出等式，然后整理即可得到y与x的函数关系式，然后根据至少有2名技工组装同一个型号的玩具列不等式组求解即可；
（2）然后根据总利润=三种类型玩具的利润和；每种玩具的利润=玩具数量×每个玩具的利润列出函数关系式，然后根据关系进行判断即可．

解答 解：（1）设组装A型、B型、C型玩具的技工分别为x、y、（20-x-y）名．
根据题意得22x+21y+20（20-x-y）=420．
整理得y=-2x+20，
∵20-x-y=20-x-（-2x+20）=x，
∴组装A型、B型、C型玩具的技工分别为x、（-2x+20）、x名
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\-2x+20≥2，x≥2\end{array}$，解得2≤x≤9，且x是整数，
（2）由题意可知：W=8×22x+10×21（-2x+20）+6×20x．
即W=-124x+4200（W是x的一次函数）
∵k=-124＜0，
∴W随x的增大而减小
∵2≤x≤9，且x是整数
∴当x=2时，W的值最大．
此时W=3952（元），即最大利润为3952元．
生产分配方案如下：组装A型玩具2人，B型玩具16人，C型玩具2人．

点评 本题主要考查的是一次函数的应用，根据一次函数的性质判断出W取得最大值是x的取值是解题的关键．