Question

15．阅读材料，回答问题：材料：为解方程x⁴-x²-6=0，然后设x²=y，于是原方程可化为y²-y-6=0，解得y₁=-2，y₂=3．当y=-2时，x²=-2不合题意舍去；当y=3时，x²=3，解得x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$．故原方程的根为x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$．
请你参照材料给出的解题方法，解下列方程
①（x²-x）²-4（x²-x）-12=0．
②$\frac{2x-1}{x}$-$\frac{3x}{2x-1}$=2．

Answer 1

分析 （1）设y=x²-x，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案；
（2）设$\frac{2x-1}{x}$=y，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可．

解答 解：①设y=x²-x，
原方程可化为y²-4y-12=0，
解得y₁=-2，y₂=6，
当y=-2时，x²-x=-2，
即x²-x+2=0，方程无解，
当y=6时，x²-x=6，
即x²-x-6=0，
解得，x₁=-2，x₂=3，
故原方程的根为x₁=-2，x₂=3；
②设$\frac{2x-1}{x}$=y，
原方程可化为y²-2y-3=0，
解得y₁=-1，y₂=3，
当y=-1时，$\frac{2x-1}{x}$=-1，
解得x=$\frac{1}{3}$，
当y=3时，$\frac{2x-1}{x}$=3，
解得，x=-1，
故原方程的根为x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=-1．

点评 本题考查的是换元法解一元二次方程和分式方程，通过阅读掌握换元法的一般步骤是解题的关键，注意一元二次方程和分式方程的解法．