Question

16．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=2$\sqrt{3}$，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°，从而可证得△ABC是等边三角形；
（2）由△ABC是等边三角形可得出“AC=BC=AB=2$\sqrt{3}$，∠ACB=60°”，在直角三角形PAC和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度，二者作差即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AC=BC=AB=2$\sqrt{3}$，∠ACB=60°．
在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=2$\sqrt{3}$，
∴AP=$\frac{AC}{tan60°}$=2．
在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=2$\sqrt{3}$，∠ACD=60°，
∴AD=AC•tan∠ACD=6．
∴PD=AD-AP=6-2=4．

点评 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）找出三角形内两角都为60°；（2）通过解直角三角形求出线段AD和AP得长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过解直角三角形找出各边长度，再根据边与边之间的关系求出结论即可．