Question

14．等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F，连接EF交BD于点M，求证：∠1=∠2．

Answer 1

分析 过A作AN⊥BC于N，延长AN交BD于H，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABN=45°，AN=BN，根据三角形的内角和得到∠MBF=∠NAF，根据全等三角形的性质得到AF=BH，根据线段垂直平分线的性质得到BH=CH=AF，根据等腰三角形的性质得到∠HCN=∠HBN，∠NBA=∠NCA，等量代换得到∠HCA=∠HBA，推出△FAE≌△HCD，于是得到结论．

解答 证明：过A作AN⊥BC于N，延长AN交BD于H，
∵AN⊥BC，
∴∠ANB=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABN=45°，
∴AN=BN．
∵AN是BC边上的高，由“三线合一”得∠NAB=∠ABC=45°，
∴∠NAF+∠FAB=45°，
∴AM⊥BD，
∴∠AGB=90°，
在Rt△ABG中，∠GBA+∠GAB=90°，∠MBF+∠FBA+∠GAB=90°，
∴∠MBF+∠FAB=45°，
∴MBF=NAF，
在△HNB和△FNA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NBH=∠NAF}\\{BN=AN}\\{∠BNH=∠ANF}\end{array}\right.$，
∴△HNB≌△FNA，
∴AF=BH，
∵AN⊥BC，N是BC中点，
∴AH是BC的垂直平分线，
∴BH=CH=AF，
∴∠HCN=∠HBN，∠NBA=∠NCA，
∴∠HCA=∠HBA，
∴∠HCA=45°+∠HBN，
∵△HNB≌△FNA，
∴∠HBN=∠FAN，
∴∠FAN+45°=∠HBN+45°，
∵∠NAC=45°，
∴∠FAC=∠ABN+45°，
∴∠FAC=∠HCA，
∵∠FAC+∠FAE=180°，∠HCA+∠HCD=180°，
∴∠HBN=∠FAE，
在△FAE与△HCD中，$\left\{\begin{array}{l}{HC=FA}\\{∠HCD=∠FAE}\\{CD=AE}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△HCD，
∴∠1=∠2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．