Question

17．如图，D、E为△ABC的边AB、AC上一点，CF∥AB交DE的延长线于F，且DE=EF
（1）求证：AE=CE；
（2）当AC与DF满足怎样的数量关系时，四边形ADCF是矩形？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据CF∥AB就可以得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，证明△ADE≌△CFE就可以求出结论；
（2）由对角线互相平分证出四边形ADCF为平行四边形，再由对角线相等即可得出结论．

解答 （1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠DAE．
在△ADE和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠F}&{\;}\\{∠DAE=∠FCE}&{\;}\\{DE=EF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
∴AE=CE；
（2）解：当AC=DF时，四边形ADCF是矩形；理由如下：
连接AF、CD；如图所示：
由（1）得：AE=CE，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF为平行四边形，
又∵AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定、矩形的判定；证明三角形全等是解决问题的关键．